2005 年 6 月 29 日（ 今野）
6 月 22 日出題のレポートのコメント
よくできているとレポートには よくできました の判が押してあります．判のないレポートは 下記を参考にして考えてみてください．それでも不明な点は質問に来てください．
全体の注意 積分する範囲は問題にある確率密度関数をよく観察すること！そうすれば ，わ かるようになっているはずである．
問題34 (i) 期待値の定義より
E[XY] =
x=−1,1
y=−1,1
xyP(X =x, Y =x)
となることに注意せよ．
(iii)
fY|X(y|1) = fX, Y(1, y)
fX(1) , y=−1,1 と
E[Y|1] =
y=−1,1
yfY|X(y|1)
である．
(v) E[XY] = E[X]E[Y] または COV[X, Y] = 0 でも X と Y は 一般には独立とは限らない．
独立を確認するためには，fX, Y(x, y) =fX(x)fY(y)を確認すること．
問題36 この問題は 積分範囲に注意をすること！（i) 期待値の定義から E[XY] =
1
0
y2xy dx
dy
であることに注意せよ．
(ii) 0< x <1に対して，fY|X(x, y)の y の動く範囲 に注意すること．
fX(x) =
1
x 2dy に注意すればよい．
(vi)
E[Y] =E[E[Y|X]] =E[g(X)] =
1
0
g(x)fX(x)dx 1
となる．
問題38 (iv)
fY|X(y|x) = fY ,X(y x)
fX(x) = 4xy−2x−2y+ 2 となるので，0< x <1に対して，
E[Y|x] =
1
0
yfY|X(y|x), dy= 1
3(x+ 1) となる．
(v) 期待値の性質から
E[{(a+bX)−Y}2] = b2E[X2] +E[Y2]−2bE[XY] + 2abE[X]−2aE[Y] +a2 =:g(a, b) となるようだ．あとは, a, bについて g(a, b)の最小化（この場合は可能）をすればよい．たと えば，g(a, b)を bについて平方完成するのとよい．また，
∂
∂ag(a, b) = 0, ∂
∂bg(a, b) = 0, が極値を求めるときの必要条件であることを思い出すとよい．
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